Σε μια κατσαρόλα με 1 ½ λίτρο αλατισμένο νερό που κοχλάζει βράζουμε το κοτόπουλο με το κρεμμύδι, το καρότο, το σέλερι και το λεμόνι για περίπου 40-45 λεπτά ή μέχρι να μαλακώσουν.
Αφαιρούμε τα λαχανικά.
Βγάζουμε το κοτόπουλο, το αφήνουμε λίγο να κρυώσει, το ξεψαχνίζουμε και το ψιλοκόβουμε.
Στραγγίζουμε τον ζωμό και τον αδειάζουμε σε καθαρή κατσαρόλα.
Προσθέτουμε τα συκωτάκια, το μαρούλι, τα κρεμμυδάκια, το ρύζι, τον άνηθο, αλάτι και πιπέρι και βράζουμε σε μέτρια φωτιά για 18-20 λεπτά, μέχρι να μαλακώσουν τα υλικά.
Αποσύρουμε από τη φωτιά.
Σε ένα μπολ χτυπάμε με το σύρμα τα αυγά μέχρι να αφρατέψουν.
Ρίχνουμε σταδιακά τον λεμονοχυμό, συνεχίζοντας το χτύπημα μέχρι να ενσωματωθεί.
Παίρνουμε δόσεις ζεστού ζωμού από την κατσαρόλα, αδειάζουμε στο αυγολέμονο και ανακατεύουμε μέχρι να ζεσταθεί καλά.
Ρίχνουμε το αυγολέμονο στην κατσαρόλα και ανακατεύουμε απαλά, ώστε να πάει παντού και να ενσωματωθεί με τα υπόλοιπα υγρά.
Αφήνουμε, την κοτόσουπα με μαρούλι, φρέσκα κρεμμυδάκια και άνηθο, 5 λεπτά να «σταθεί» και σερβίρουμε.